Βάζουμε τις πατάτες με τη φλούδα τους και πλυμένες σε μια κατσαρόλα με κρύο νερό  και τις βράζουμε.

Σε μια άλλη κατσαρόλα βάζουμε την κολοκύθα να βράσει, κομμένη σε κομμάτια.

Στο μεταξύ, χωρίζουμε το μπρόκολο σε μπουκετάκια και τα βράζουμε για 6-7 λεπτά σε νερό με μία κουταλιά ελαιόλαδο. Μόλις περάσει ο χρόνος βρασμού, βγάζουμε αμέσως το μπρόκολο και το βυθίζουμε σε παγωμένο νερό για να κρατήσει ζωντανό το χρώμα του. Στη συνέχεια το στραγγίζουμε και το σουρώνουμε καλά.

Μόλις βράσουν οι πατάτες, τις αφήνουμε να κρυώσουν, τις ξεφλουδίζουμε και τις περνάμε από τον πολτοποιητή πατάτας.

Περνάμε και τη βρασμένη κολοκύθα από τον πολτοποιητή πατάτας, αφού τη στραγγίξουμε καλά.

Από τον πουρέ της πατάτας βάζουμε 435 γρ. σε ένα μπολ και προσθέτουμε μία πρέζα αλάτι, μία πρέζα μαύρο πιπέρι, μία πρέζα μοσχοκάρυδο, 2 κουταλιές της σούπας ελαιόλαδο και τον κρόκο αυγού και τα ανακατεύουμε.

Βάζουμε άλλα 90 γρ. από τον πουρέ πατάτας με τον πολτό της κολοκύθας σε ένα μπολ, πασπαλίζουμε με μία πρέζα αλάτι, μία πρέζα άσπρο πιπέρι και 15 γρ. Parmigiano-Reggiano τριμμένο και ανακατεύουμε.

Βάζουμε τον υπόλοιπο πουρέ πατάτας σε ένα τρίτο μπολ μαζί με το μπρόκολο και πασπαλίζουμε με μία πρέζα αλάτι, μία πρέζα μαύρο πιπέρι και το Pecorino-Romano τριμμένο και ανακατεύουμε.

Αφήνουμε τα τρία μείγματα της πατάτας να «σταθούν» για 10 λεπτά και έπειτα προσθέτουμε την τριμμένη φρυγανιά στο μείγμα πατάτας-κολοκύθας και ανακατεύουμε.

Στη συνέχεια, βουτυρώνουμε 4 πυρίμαχα σκεύη και με τη βοήθεια μιας σπάτουλας παγωτού (την οποία θα βουτάμε σε γάλα για να γλιστράει) παίρνουμε ίσες ποσότητες από κάθε μείγμα και τις τοποθετούμε στα σκεύη μας, δημιουργώντας πολύχρωμες μπαλίτσες.

Τέλος, πασπαλίζουμε με το υπόλοιπο Parmigiano-Reggiano και ψήνουμε στο γκριλ του φούρνου για 5-8 λεπτά.